Simulating Hamiltonian Dynamics

Author: Benedict Leimkuhler,Sebastian Reich

Publisher: Cambridge University Press

ISBN: 9780521772907

Category: Mathematics

Page: 379

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Geometric integrators are time-stepping methods, designed such that they exactly satisfy conservation laws, symmetries or symplectic properties of a system of differential equations. In this book the authors outline the principles of geometric integration and demonstrate how they can be applied to provide efficient numerical methods for simulating conservative models. Beginning from basic principles and continuing with discussions regarding the advantageous properties of such schemes, the book introduces methods for the N-body problem, systems with holonomic constraints, and rigid bodies. More advanced topics treated include high-order and variable stepsize methods, schemes for treating problems involving multiple time-scales, and applications to molecular dynamics and partial differential equations. The emphasis is on providing a unified theoretical framework as well as a practical guide for users. The inclusion of examples, background material and exercises enhance the usefulness of the book for self-instruction or as a text for a graduate course on the subject.

Symmetries and Integrability of Difference Equations

Lecture Notes of the Abecederian School of SIDE 12, Montreal 2016

Author: Decio Levi,Raphaël Rebelo,Pavel Winternitz

Publisher: Springer

ISBN: 3319566660

Category: Science

Page: 435

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This book shows how Lie group and integrability techniques, originally developed for differential equations, have been adapted to the case of difference equations. Difference equations are playing an increasingly important role in the natural sciences. Indeed, many phenomena are inherently discrete and thus naturally described by difference equations. More fundamentally, in subatomic physics, space-time may actually be discrete. Differential equations would then just be approximations of more basic discrete ones. Moreover, when using differential equations to analyze continuous processes, it is often necessary to resort to numerical methods. This always involves a discretization of the differential equations involved, thus replacing them by difference ones. Each of the nine peer-reviewed chapters in this volume serves as a self-contained treatment of a topic, containing introductory material as well as the latest research results and exercises. Each chapter is presented by one or more early career researchers in the specific field of their expertise and, in turn, written for early career researchers. As a survey of the current state of the art, this book will serve as a valuable reference and is particularly well suited as an introduction to the field of symmetries and integrability of difference equations. Therefore, the book will be welcomed by advanced undergraduate and graduate students as well as by more advanced researchers.

Mathematics and Computation, a Contemporary View

The Abel Symposium 2006

Author: Hans Munthe-Kaas,Brynjulf Owren

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 3540688501

Category: Mathematics

Page: 127

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The 2006 Abel symposium is focusing on contemporary research involving interaction between computer science, computational science and mathematics. In recent years, computation has been affecting pure mathematics in fundamental ways. Conversely, ideas and methods of pure mathematics are becoming increasingly important within computational and applied mathematics. At the core of computer science is the study of computability and complexity for discrete mathematical structures. Studying the foundations of computational mathematics raises similar questions concerning continuous mathematical structures. There are several reasons for these developments. The exponential growth of computing power is bringing computational methods into ever new application areas. Equally important is the advance of software and programming languages, which to an increasing degree allows the representation of abstract mathematical structures in program code. Symbolic computing is bringing algorithms from mathematical analysis into the hands of pure and applied mathematicians, and the combination of symbolic and numerical techniques is becoming increasingly important both in computational science and in areas of pure mathematics.

Global Formulations of Lagrangian and Hamiltonian Dynamics on Manifolds

A Geometric Approach to Modeling and Analysis

Author: Taeyoung Lee,Melvin Leok,N. Harris McClamroch

Publisher: Springer

ISBN: 3319569538

Category: Mathematics

Page: 539

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This book provides an accessible introduction to the variational formulation of Lagrangian and Hamiltonian mechanics, with a novel emphasis on global descriptions of the dynamics, which is a significant conceptual departure from more traditional approaches based on the use of local coordinates on the configuration manifold. In particular, we introduce a general methodology for obtaining globally valid equations of motion on configuration manifolds that are Lie groups, homogeneous spaces, and embedded manifolds, thereby avoiding the difficulties associated with coordinate singularities. The material is presented in an approachable fashion by considering concrete configuration manifolds of increasing complexity, which then motivates and naturally leads to the more general formulation that follows. Understanding of the material is enhanced by numerous in-depth examples throughout the book, culminating in non-trivial applications involving multi-body systems. This book is written for a general audience of mathematicians, engineers, and physicists with a basic knowledge of mechanics. Some basic background in differential geometry is helpful, but not essential, as the relevant concepts are introduced in the book, thereby making the material accessible to a broad audience, and suitable for either self-study or as the basis for a graduate course in applied mathematics, engineering, or physics.

Structure-Preserving Algorithms for Oscillatory Differential Equations

Author: Xinyuan Wu,Xiong You,Bin Wang

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 364235338X

Category: Mathematics

Page: 236

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Structure-Preserving Algorithms for Oscillatory Differential Equations describes a large number of highly effective and efficient structure-preserving algorithms for second-order oscillatory differential equations by using theoretical analysis and numerical validation. Structure-preserving algorithms for differential equations, especially for oscillatory differential equations, play an important role in the accurate simulation of oscillatory problems in applied sciences and engineering. The book discusses novel advances in the ARKN, ERKN, two-step ERKN, Falkner-type and energy-preserving methods, etc. for oscillatory differential equations. The work is intended for scientists, engineers, teachers and students who are interested in structure-preserving algorithms for differential equations. Xinyuan Wu is a professor at Nanjing University; Xiong You is an associate professor at Nanjing Agricultural University; Bin Wang is a joint Ph.D student of Nanjing University and University of Cambridge.

Spaceflight Mechanics

Proceedings of the AAS/AIAA Spaceflight Mechanics Meeting

Author: Srinivas Rao Vadali

Publisher: N.A

ISBN: 9780877035282

Category: Orbital mechanics

Page: 2262

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Einführung in die Mechanik und Symmetrie

Eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme

Author: Jerrold E. Marsden,Tudor S. Ratiu

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642568599

Category: Mathematics

Page: 598

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Symmetrie spielt in der Mechanik eine große Rolle. Dieses Buch beschreibt die Entwicklung zugrunde liegender Theorien. Besonderes Gewicht wird der Symmetrie beigemessen. Ursache hierfür sind Entwicklungen im Bereich dynamischer Systeme, der Einsatz geometrischer Verfahren und neue Anwendungen. Dieses Lehrbuch stellt Grundlagen bereit und beschreibt zahlreiche spezifische Anwendungen. Interessant für Physiker und Ingenieure. Ausgewählte Beispiele, Anwendungen, aktuelle Verfahren/Techniken veranschaulichen die Theorie.

Level Set Methods and Fast Marching Methods

Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science

Author: J. A. Sethian

Publisher: Cambridge University Press

ISBN: 9780521645577

Category: Computers

Page: 378

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This new edition is an introduction to level set methods and fast marching methods.

Finite Elemente

Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie

Author: Dietrich Braess

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662072343

Category: Mathematics

Page: 305

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Stochastische Methoden des Operations Research

Author: N.A

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3663115283

Category: Technology & Engineering

Page: 193

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Operations Research befaßt sich mit der mathematischen Analyse technisch-wirtschaft licher Probleme und Systeme. Man hat es dabei immer mit mehr oder weniger ausge prägten Unsicherheiten und Ungewißheiten zu tun. Oft kann man die Unsicherheiten vernachlässigen und mit Schätzungen, mittleren oder erwarteten Werten arbeiten. Es gibt jedoch Probleme, deren Wesen gerade durch den Zufall bestimmt ist. Man würde den Kern des Problems nicht treffen, wollte man versuchen, den Zufallsfaktor zu eli minieren. In solchen Fällen muß das Problem mit wahrscheinlichkeitstheoretischen oder stochastischen Methoden angepackt werden. Man hat es dabei fast immer mit dynamischen, zeitlichen Abläufen zu tun. Die Pro bleme fallen daher in das Gebiet der stochastischen Prozesse. Die grundlegenden Instru mente zur Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research bilden die Erneuerungstheorie und die Theorie der Markoff-Ketten (Kapitel 2 und 3). Wichtige Anwendungen davon treten bei den Warteschlangensystemen (Kapitel4) und der dyna mischen Optimierung (Kapitel 5) auf. Von vorrangiger, praktischer Bedeutung ist die numerische Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research. Hierflir legen die Simulations-und Monte-Cario-Methoden (Kapitel 6) weitreichende Ansätze bereit. Es wird hier keinesfalls eine umfassende, vollständige Darstellung der einzelnen Gebiete angestrebt. Im Vordergrund steht vielmehr eine Einführung in die wichtigsten, ftir die jeweiligen Problemkreise charakteristischen Gedankengänge. Selbstverständlich beruhen die dargestellten stochastischen Methoden auf der allgemeinen Wahrscheinlichkeits theorie. Daher ist im Kapitell eine knapp gehaltene Einführung in die Wahrscheinlich keitstheorie vorangestellt, die deren wesentlichsten Ergebnisse enthält, wobei zum größten Teil auf die Beweise verzichtet wurde. Der Leser, der mit der Wahrscheinlich keitstheorie vertraut ist, kann dieses Kapitel überspringen.

Bernhard Riemann 1826–1866

Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik

Author: Detlef Laugwitz

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3034889836

Category: Mathematics

Page: 348

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Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."

Large Eddy Simulation turbulenter Strömungen

Author: Jochen Fröhlich

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3835190512

Category: Technology & Engineering

Page: 414

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Die Large Eddy Simulation (LES) ist eine Methode zur Modellierung und Berechnung turbulenter Strömungen. Insbesondere für den praxisrelevanten Fall hoher Reynoldszahlen besitzt sie Vorteile gegenüber anderen Verfahren und findet in den letzten Jahren sehr schnell Verbreitung. Das Buch motiviert den Ansatz auf der Basis physikalischer Grundlagen. Alle Modelltypen, die in derartigen Simulationen auftreten, werden detailiert erläutert und vergleichend diskutiert. Anhand verschiedener Anwendungsbeispiele werden typische Resultate diskutiert und unterschiedliche Techniken zur Auswertung der gewonnenen Daten vorgestellt.